Решете 3x-15=2x(x-5)

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

Решаване за x

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Добавете 10x от двете страни.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Групирайте 3x и 10x, за да получите 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -2x^{2}+ax+bx-15. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 30 на продукта.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Решението е двойката, която дава сума 13.

$$a=10 b=3$$

Напишете -2x^{2}+13x-15 като \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Фактор, 2x в първата и -3 във втората група.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Разложете на множители общия член -x+5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+5=0 и 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Добавете 10x от двете страни.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Групирайте 3x и 10x, за да получите 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -2 вместо a, 13 вместо b и -15 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Повдигане на квадрат на 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножете -4 по -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножете 8 по -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Съберете 169 с -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Получете корен квадратен от 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

Умножете 2 по -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-13±7}{-4}, когато ± е плюс. Съберете -13 с 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Намаляване на дробта \frac{-6}{-4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-13±7}{-4}, когато ± е минус. Извадете 7 от -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Разделете -20 на -4.

$$x=5$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Добавете 10x от двете страни.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Групирайте 3x и 10x, за да получите 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Добавете 15 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$13x-2x^{2}=15$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Разделете двете страни на -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

Делението на -2 отменя умножението по -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

Разделете 13 на -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

Разделете 15 на -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Разделете -\frac{13}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{13}{4}. След това съберете квадрата на -\frac{13}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{13}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Съберете -\frac{15}{2} и \frac{169}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Съберете \frac{13}{4} към двете страни на уравнението.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$