Решете 3x(x+1)-(x-2)^2/2=(x+1)(x-1)+15

$$3 x ( x + 1 ) - \frac { ( x - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 15$$

Решаване за x

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5,333333333$$

$$x=2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6x по x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-4x+4, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Групирайте 6x^{2} и -x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Групирайте 6x и 4x, за да получите 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x+2 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Съберете -2 и 30, за да се получи 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Групирайте 5x^{2} и -2x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Извадете 28 и от двете страни.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Извадете 28 от -4, за да получите -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 3x^{2}+ax+bx-32. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=10 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -96 на продукта.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

Решението е двойката, която дава сума 10.

$$a=-6 b=16$$

Напишете 3x^{2}+10x-32 като \left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right).

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right)$$

Фактор, 3x в първата и 16 във втората група.

$$3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)$$

Разложете на множители общия член x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-2\right)\left(3x+16\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-2=0 и 3x+16=0.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6x по x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-4x+4, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Групирайте 6x^{2} и -x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Групирайте 6x и 4x, за да получите 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x+2 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Съберете -2 и 30, за да се получи 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Групирайте 5x^{2} и -2x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Извадете 28 и от двете страни.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Извадете 28 от -4, за да получите -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, 10 вместо b и -32 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по -32.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+384}}{2\times 3}$$

Съберете 100 с 384.

$$x=\frac{-10±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от 484.

$$x=\frac{-10±22}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$x=\frac{-10±22}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-10±22}{6}, когато ± е плюс. Съберете -10 с 22.

$$x=\frac{12}{6}$$

Разделете 12 на 6.

$$x=2$$

Сега решете уравнението x=\frac{-10±22}{6}, когато ± е минус. Извадете 22 от -10.

$$x=-\frac{32}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{-32}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{16}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6x по x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-4x+4, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Групирайте 6x^{2} и -x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Групирайте 6x и 4x, за да получите 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x+2 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Съберете -2 и 30, за да се получи 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Извадете 2x^{2} и от двете страни.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Групирайте 5x^{2} и -2x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Добавете 4 от двете страни.

$$3x^{2}+10x=28+4$$

Съберете 28 и 4, за да се получи 32.

$$3x^{2}+10x=32$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{32}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{32}{3}$$

Разделете \frac{10}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{5}{3}. След това съберете квадрата на \frac{5}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{32}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{5}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{32}{3}+\frac{25}{9}$$

Съберете \frac{32}{3} и \frac{25}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{121}{9}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}$$

Извадете \frac{5}{3} и от двете страни на уравнението.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$