Решете 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Разлагане на множители

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Умножете и групирайте подобните членове.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -16, а q разделя водещия коефициент 3. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-4$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 на x+4, за да получите 3x^{3}+12x^{2}-x-4. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -4, а q разделя водещия коефициент 3. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-4$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 3x^{3}+12x^{2}-x-4 на x+4, за да получите 3x^{2}-1. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 3 за a, 0 за b и -1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Решете уравнението 3x^{2}-1=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени. Полиномът 3x^{2}-1 не е разложен на множители, тъй като няма рационални корени.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Изчисляване

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Групирайте 48x^{2} и -x^{2}, за да получите 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$