Решете 3x^3+4x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Решаване за x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618033989$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\approx -1,618033989$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -1, а q разделя водещия коефициент 3. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 3x^{3}+4x^{2}-2x-1 на 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1, за да получите x^{2}+x-1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+x-1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 1 за b и -1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}+x-1=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-\frac{1}{3} x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$