Решете 3x^3+31x^2+82x+24

$$3 x ^ { 3 } + 31 x ^ { 2 } + 82 x + 24$$

Разлагане на множители

$$\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(3x+1\right)$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 24, а q разделя водещия коефициент 3. Един такъв корен е -4. Разложете полинома на множители, като го разделите с x+4.

$$\left(x+4\right)\left(3x^{2}+19x+6\right)$$

Сметнете 3x^{2}+19x+6. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 3x^{2}+ax+bx+6. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=19 ab=3\times 6=18$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 18 на продукта.

$$1,18 2,9 3,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Решението е двойката, която дава сума 19.

$$a=1 b=18$$

Напишете 3x^{2}+19x+6 като \left(3x^{2}+x\right)+\left(18x+6\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(18x+6\right)$$

Фактор, x в първата и 6 във втората група.

$$x\left(3x+1\right)+6\left(3x+1\right)$$

Разложете на множители общия член 3x+1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x+1\right)\left(x+6\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$\left(3x+1\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)$$

Изчисляване

$$\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(3x+1\right)$$