Решете 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Решаване за x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Извадете 6y и от двете страни.

$$3x+9-6y=0$$

Извадете 9 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$3x-6y=-9$$

Сметнете второто уравнение. Добавете 12 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$-2x-2y=12$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$3x-6y=-9$$

Съберете 6y към двете страни на уравнението.

$$3x=6y-9$$

Разделете двете страни на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Умножете \frac{1}{3} по 6y-9.

$$x=2y-3$$

Заместете 2y-3 вместо x в другото уравнение, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Умножете -2 по 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Съберете -4y с -2y.

$$-6y+6=12$$

Извадете 6 и от двете страни на уравнението.

$$-6y=6$$

Разделете двете страни на -6.

$$y=-1$$

Заместете -1 вместо y в x=2y-3. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Умножете 2 по -1.

$$x=-2-3$$

Съберете -3 с -2.

$$x=-5$$

Системата сега е решена.

$$x=-5,y=-1$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Извадете 6y и от двете страни.

$$3x+9-6y=0$$

Извадете 9 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$3x-6y=-9$$

Сметнете второто уравнение. Добавете 12 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$-2x-2y=12$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=-5,y=-1$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Извадете 6y и от двете страни.

$$3x+9-6y=0$$

Извадете 9 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$3x-6y=-9$$

Сметнете второто уравнение. Добавете 12 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$-2x-2y=12$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

За да направите 3x и -2x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по -2, а всички членове от двете страни на второто по 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Опростявайте.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Извадете -6x-6y=36 от -6x+12y=18, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Съберете -6x с 6x. Условията -6x и 6x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$12y+6y=18-36$$

Съберете 12y с 6y.

$$18y=18-36$$

Съберете 18 с -36.

$$18y=-18$$

Разделете двете страни на 18.

$$y=-1$$

Заместете -1 вместо y в -2x-2y=12. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Умножете -2 по -1.

$$-2x+2=12$$

Извадете 2 и от двете страни на уравнението.

$$-2x=10$$

Разделете двете страни на -2.

$$x=-5$$

Системата сега е решена.

$$x=-5,y=-1$$