Решете 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Решаване за x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Извадете 1 от 5, за да получите 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -4 на продукта.

$$-1,4 -2,2$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Решението е двойката, която дава сума 3.

$$a=4 b=-1$$

Напишете -x^{2}+3x+4 като \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Фактор, -x в първата и -1 във втората група.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Разложете на множители общия член x-4, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-4=0 и -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Извадете 1 от 5, за да получите 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 3 вместо b и 4 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 9 с 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-3±5}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -3 с 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Разделете 2 на -2.

$$x=-1$$

Сега решете уравнението x=\frac{-3±5}{-2}, когато ± е минус. Извадете 5 от -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Разделете -8 на -2.

$$x=4$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-1 x=4$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Извадете 5 и от двете страни.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Извадете 5 от 1, за да получите -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Разделете 3 на -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Разделете -4 на -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Разделете -3 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{3}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{3}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{3}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Съберете 4 с \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Съберете \frac{3}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=4 x=-1$$