Решете 3t^2+20t-32

$$3 t ^ { 2 } + 20 t - 32$$

Разлагане на множители

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 3t^{2}+at+bt-32. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=20 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -96 на продукта.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

Решението е двойката, която дава сума 20.

$$a=-4 b=24$$

Напишете 3t^{2}+20t-32 като \left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right).

$$\left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right)$$

Фактор, t в първата и 8 във втората група.

$$t\left(3t-4\right)+8\left(3t-4\right)$$

Разложете на множители общия член 3t-4, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$3t^{2}+20t-32=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на 20.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по -32.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 3}$$

Съберете 400 с 384.

$$t=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от 784.

$$t=\frac{-20±28}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$t=\frac{-20±28}{6}$$

Сега решете уравнението t=\frac{-20±28}{6}, когато ± е плюс. Съберете -20 с 28.

$$t=\frac{8}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{8}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$t=\frac{4}{3}$$

Сега решете уравнението t=\frac{-20±28}{6}, когато ± е минус. Извадете 28 от -20.

$$t=-\frac{48}{6}$$

Разделете -48 на 6.

$$t=-8$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{4}{3} и x_{2} с -8.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t-\left(-8\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t+8\right)$$

Извадете \frac{4}{3} от t, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$3t^{2}+20t-32=3\times \frac{3t-4}{3}\left(t+8\right)$$

Съкратете най-големия общ множител 3 в 3 и 3.

$$3t^{2}+20t-32=\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Изчисляване

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$