Решете 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Решаване за n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Извадете 5 и от двете страни на уравнението.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Изваждане на 5 от самото него дава 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Извадете 5 от -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, 47 вместо b и -237 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на 47.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Съберете 2209 с 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Сега решете уравнението n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}, когато ± е плюс. Съберете -47 с \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Сега решете уравнението n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}, когато ± е минус. Извадете \sqrt{5053} от -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Уравнението сега е решено.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Съберете 232 към двете страни на уравнението.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Изваждане на -232 от самото него дава 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Извадете -232 от 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Разделете 237 на 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Разделете \frac{47}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{47}{6}. След това съберете квадрата на \frac{47}{6} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{47}{6}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Съберете 79 с \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Разложете на множител n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Опростявайте.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Извадете \frac{47}{6} и от двете страни на уравнението.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$