Решете 3a^2-72a+540=300

$$3 a ^ { 2 } - 72 a + 540 = 300$$

Решаване за a

$$a=4$$

$$a=20$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете 300 и от двете страни.

$$3a^{2}-72a+540-300=0$$

Извадете 300 от 540, за да получите 240.

$$3a^{2}-72a+240=0$$

Разделете двете страни на 3.

$$a^{2}-24a+80=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като a^{2}+aa+ba+80. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-24 ab=1\times 80=80$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 80 на продукта.

$$-1,-80 -2,-40 -4,-20 -5,-16 -8,-10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-80=-81 -2-40=-42 -4-20=-24 -5-16=-21 -8-10=-18$$

Решението е двойката, която дава сума -24.

$$a=-20 b=-4$$

Напишете a^{2}-24a+80 като \left(a^{2}-20a\right)+\left(-4a+80\right).

$$\left(a^{2}-20a\right)+\left(-4a+80\right)$$

Фактор, a в първата и -4 във втората група.

$$a\left(a-20\right)-4\left(a-20\right)$$

Разложете на множители общия член a-20, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(a-20\right)\left(a-4\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете a-20=0 и a-4=0.

$$a=20 a=4$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$3a^{2}-72a+540=300$$

Извадете 300 и от двете страни на уравнението.

$$3a^{2}-72a+540-300=300-300$$

Изваждане на 300 от самото него дава 0.

$$3a^{2}-72a+540-300=0$$

Извадете 300 от 540.

$$3a^{2}-72a+240=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, -72 вместо b и 240 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 3\times 240}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на -72.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 3\times 240}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-12\times 240}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по 240.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-2880}}{2\times 3}$$

Съберете 5184 с -2880.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{2304}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от 2304.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±48}{2\times 3}$$

Противоположното на -72 е 72.

$$a=\frac{72±48}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$a=\frac{72±48}{6}$$

Сега решете уравнението a=\frac{72±48}{6}, когато ± е плюс. Съберете 72 с 48.

$$a=\frac{120}{6}$$

Разделете 120 на 6.

$$a=20$$

Сега решете уравнението a=\frac{72±48}{6}, когато ± е минус. Извадете 48 от 72.

$$a=\frac{24}{6}$$

Разделете 24 на 6.

$$a=4$$

Уравнението сега е решено.

$$a=20 a=4$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$3a^{2}-72a+540=300$$

Извадете 540 и от двете страни на уравнението.

$$3a^{2}-72a+540-540=300-540$$

Изваждане на 540 от самото него дава 0.

$$3a^{2}-72a=300-540$$

Извадете 540 от 300.

$$3a^{2}-72a=-240$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3a^{2}-72a}{3}=-\frac{240}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$a^{2}+\left(-\frac{72}{3}\right)a=-\frac{240}{3}$$

Разделете -72 на 3.

$$a^{2}-24a=-\frac{240}{3}$$

Разделете -240 на 3.

$$a^{2}-24a=-80$$

Разделете -24 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -12. След това съберете квадрата на -12 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$a^{2}-24a+\left(-12\right)^{2}=-80+\left(-12\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -12.

$$a^{2}-24a+144=-80+144$$

Съберете -80 с 144.

$$a^{2}-24a+144=64$$

Разложете на множител a^{2}-24a+144. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-12\right)^{2}=64$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(a-12\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Опростявайте.

$$a-12=8 a-12=-8$$

Съберете 12 към двете страни на уравнението.

$$a=20 a=4$$