Решете 3(-16k/4k^2+1)^2=32/4k^2+1

$$3 ( \frac { - 16 k } { 4 k ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 32 } { 4 k ^ { 2 } + 1 }$$

Решаване за k

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0,223606798$$

$$k=-\frac{\sqrt{5}}{10}\approx -0,223606798$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението по 4k^{2}+1.

$$3\times \left(\frac{-16k}{4k^{2}+1}\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

За да повдигнете \frac{-16k}{4k^{2}+1} на степен, повдигнете числителя и знаменателя на тази степен и след това ги разделете.

$$3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Изразете 3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} като една дроб.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Изразете \frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right) като една дроб.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Разложете \left(-16k\right)^{2}.

$$\frac{3\left(-16\right)^{2}k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Изчислявате 2 на степен -16 и получавате 256.

$$\frac{3\times 256k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Умножете 3 по 256, за да получите 768.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16\left(k^{2}\right)^{2}+8k^{2}+1}=32$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 2 по 2, за да получите 4.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}=32$$

Извадете 32 и от двете страни.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 768k^{2} по 4k^{2}+1.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

Разложете на множители 16k^{4}+8k^{2}+1.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-32=0$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете 32 по \frac{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Тъй като \frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} и \frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} имат един и същ знаменател, извадете ги, като извадите техните числители.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Извършете умноженията в 3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Обединете подобните членове в 3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32.

$$\frac{2560k^{4}+512k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Умножете и двете страни на уравнението по \left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$2560k^{4}+512k^{2}-32=0$$

Заместете k^{2} с t.

$$2560t^{2}+512t-32=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 2560 за a, 512 за b и -32 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$t=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 2560\left(-32\right)}}{2\times 2560}$$

Извършете изчисленията.

$$t=\frac{-512±768}{5120}$$

Решете уравнението t=\frac{-512±768}{5120}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$t=\frac{1}{20} t=-\frac{1}{4}$$

Тъй като k=t^{2}, решенията се получават чрез оценяване на k=±\sqrt{t} за позитивни t.

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10} k=-\frac{\sqrt{5}}{10}$$