Решете 3x^4-14x^3-6x^2+6x-5=0

$$3 { x }^{ 4 } -14 { x }^{ 3 } -6 { x }^{ 2 } +6x-5=0$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}\approx 0,333333333-0,471404521i$$

$$x=5$$

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}\approx 0,333333333+0,471404521i$$

$$x=-1$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -5, а q разделя водещия коефициент 3. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 3x^{4}-14x^{3}-6x^{2}+6x-5 на x+1, за да получите 3x^{3}-17x^{2}+11x-5. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$3x^{3}-17x^{2}+11x-5=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -5, а q разделя водещия коефициент 3. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=5$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 3x^{3}-17x^{2}+11x-5 на x-5, за да получите 3x^{2}-2x+1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$3x^{2}-2x+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 3 за a, -2 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{6}$$

Решете уравнението 3x^{2}-2x+1=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-1 x=5 x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

Решаване за x

$$x=-1$$

$$x=5$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -5, а q разделя водещия коефициент 3. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 3x^{4}-14x^{3}-6x^{2}+6x-5 на x+1, за да получите 3x^{3}-17x^{2}+11x-5. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$3x^{3}-17x^{2}+11x-5=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -5, а q разделя водещия коефициент 3. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=5$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 3x^{3}-17x^{2}+11x-5 на x-5, за да получите 3x^{2}-2x+1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$3x^{2}-2x+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 3 за a, -2 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{6}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-1 x=5$$