Решете 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Разлагане на множители

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -40, а q разделя водещия коефициент 3. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 на x+2, за да получите 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -20, а q разделя водещия коефициент 3. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=\frac{5}{3}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 на 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5, за да получите x^{2}+4. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{2}+4=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и 4 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Полиномът x^{2}+4 не е разложен на множители, тъй като няма рационални корени.

$$x^{2}+4$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Изчисляване

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$