Решете 3sqrt{2x-3}+2sqrt{7-x}=11

$$3 \sqrt{ 2x-3 } +2 \sqrt{ 7-x } =11$$

Решаване за x

$$x=6$$

Стъпки на решението

Извадете 2\sqrt{7-x} и от двете страни на уравнението.

$$3\sqrt{2x-3}=11-2\sqrt{7-x}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Разложете \left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}.

$$3^{2}\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 3 и получавате 9.

$$9\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x-3} и получавате 2x-3.

$$9\left(2x-3\right)=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 9 по 2x-3.

$$18x-27=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{7-x} и получавате 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(7-x\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+28-4x$$

Съберете 121 и 28, за да се получи 149.

$$18x-27=149-44\sqrt{7-x}-4x$$

Извадете 149-4x и от двете страни на уравнението.

$$18x-27-\left(149-4x\right)=-44\sqrt{7-x}$$

За да намерите противоположната стойност на 149-4x, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$18x-27-149+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Извадете 149 от -27, за да получите -176.

$$18x-176+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Групирайте 18x и 4x, за да получите 22x.

$$22x-176=-44\sqrt{7-x}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(22x-176\right)^{2}=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(22x-176\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Разложете \left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\right)^{2}\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -44 и получавате 1936.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{7-x} и получавате 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(7-x\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 1936 по 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=13552-1936x$$

Извадете 13552 и от двете страни.

$$484x^{2}-7744x+30976-13552=-1936x$$

Извадете 13552 от 30976, за да получите 17424.

$$484x^{2}-7744x+17424=-1936x$$

Добавете 1936x от двете страни.

$$484x^{2}-7744x+17424+1936x=0$$

Групирайте -7744x и 1936x, за да получите -5808x.

$$484x^{2}-5808x+17424=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 484 вместо a, -5808 вместо b и 17424 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{\left(-5808\right)^{2}-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Повдигане на квадрат на -5808.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Умножете -4 по 484.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-1936\times 17424}}{2\times 484}$$

Умножете -1936 по 17424.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-33732864}}{2\times 484}$$

Съберете 33732864 с -33732864.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{0}}{2\times 484}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$x=-\frac{-5808}{2\times 484}$$

Противоположното на -5808 е 5808.

$$x=\frac{5808}{2\times 484}$$

Умножете 2 по 484.

$$x=\frac{5808}{968}$$

Разделете 5808 на 968.

$$x=6$$

Заместете 6 вместо x в уравнението 3\sqrt{2x-3}+2\sqrt{7-x}=11.

$$3\sqrt{2\times 6-3}+2\sqrt{7-6}=11$$

Опростявайте. Стойността x=6 отговаря на уравнението.

$$11=11$$

Уравнението 3\sqrt{2x-3}=-2\sqrt{7-x}+11 има уникално решение.

$$x=6$$