Решете 3+sqrt{x-3}=4-sqrt{4x-12}

$$3 + \sqrt { x - 3 } = 4 - \sqrt { 4 x - 12 }$$

Решаване за x

$$x = \frac{28}{9} = 3\frac{1}{9} \approx 3,111111111$$

Стъпки на решението

Извадете 3 и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{x-3}=4-\sqrt{4x-12}-3$$

Извадете 3 от 4, за да получите 1.

$$\sqrt{x-3}=1-\sqrt{4x-12}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(1-\sqrt{4x-12}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-3} и получавате x-3.

$$x-3=\left(1-\sqrt{4x-12}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(1-\sqrt{4x-12}\right)^{2}.

$$x-3=1-2\sqrt{4x-12}+\left(\sqrt{4x-12}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{4x-12} и получавате 4x-12.

$$x-3=1-2\sqrt{4x-12}+4x-12$$

Извадете 12 от 1, за да получите -11.

$$x-3=-11-2\sqrt{4x-12}+4x$$

Извадете -11+4x и от двете страни на уравнението.

$$x-3-\left(-11+4x\right)=-2\sqrt{4x-12}$$

За да намерите противоположната стойност на -11+4x, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x-3+11-4x=-2\sqrt{4x-12}$$

Съберете -3 и 11, за да се получи 8.

$$x+8-4x=-2\sqrt{4x-12}$$

Групирайте x и -4x, за да получите -3x.

$$-3x+8=-2\sqrt{4x-12}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-3x+8\right)^{2}=\left(-2\sqrt{4x-12}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(-3x+8\right)^{2}.

$$9x^{2}-48x+64=\left(-2\sqrt{4x-12}\right)^{2}$$

Разложете \left(-2\sqrt{4x-12}\right)^{2}.

$$9x^{2}-48x+64=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{4x-12}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -2 и получавате 4.

$$9x^{2}-48x+64=4\left(\sqrt{4x-12}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{4x-12} и получавате 4x-12.

$$9x^{2}-48x+64=4\left(4x-12\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по 4x-12.

$$9x^{2}-48x+64=16x-48$$

Извадете 16x и от двете страни.

$$9x^{2}-48x+64-16x=-48$$

Групирайте -48x и -16x, за да получите -64x.

$$9x^{2}-64x+64=-48$$

Добавете 48 от двете страни.

$$9x^{2}-64x+64+48=0$$

Съберете 64 и 48, за да се получи 112.

$$9x^{2}-64x+112=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 9 вместо a, -64 вместо b и 112 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 9\times 112}}{2\times 9}$$

Повдигане на квадрат на -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 9\times 112}}{2\times 9}$$

Умножете -4 по 9.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-36\times 112}}{2\times 9}$$

Умножете -36 по 112.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4032}}{2\times 9}$$

Съберете 4096 с -4032.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{64}}{2\times 9}$$

Получете корен квадратен от 64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8}{2\times 9}$$

Противоположното на -64 е 64.

$$x=\frac{64±8}{2\times 9}$$

Умножете 2 по 9.

$$x=\frac{64±8}{18}$$

Сега решете уравнението x=\frac{64±8}{18}, когато ± е плюс. Съберете 64 с 8.

$$x=\frac{72}{18}$$

Разделете 72 на 18.

$$x=4$$

Сега решете уравнението x=\frac{64±8}{18}, когато ± е минус. Извадете 8 от 64.

$$x=\frac{56}{18}$$

Намаляване на дробта \frac{56}{18} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{28}{9}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=4 x=\frac{28}{9}$$

Заместете 4 вместо x в уравнението 3+\sqrt{x-3}=4-\sqrt{4x-12}.

$$3+\sqrt{4-3}=4-\sqrt{4\times 4-12}$$

Опростявайте. Стойността x=4 не отговаря на уравнението.

$$4=2$$

Заместете \frac{28}{9} вместо x в уравнението 3+\sqrt{x-3}=4-\sqrt{4x-12}.

$$3+\sqrt{\frac{28}{9}-3}=4-\sqrt{4\times \frac{28}{9}-12}$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{28}{9} отговаря на уравнението.

$$\frac{10}{3}=\frac{10}{3}$$

Уравнението \sqrt{x-3}=-\sqrt{4x-12}+1 има уникално решение.

$$x=\frac{28}{9}$$