Решете 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0,25-0,968245837i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Групирайте 2x и -4x, за да получите -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Извадете 5 и от двете страни.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

Извадете 5 от 1, за да получите -4.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -4 вместо a, -2 вместо b и -4 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Повдигане на квадрат на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножете -4 по -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножете 16 по -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Съберете 4 с -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Получете корен квадратен от -60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Противоположното на -2 е 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Умножете 2 по -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}, когато ± е плюс. Съберете 2 с 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Разделете 2+2i\sqrt{15} на -8.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}, когато ± е минус. Извадете 2i\sqrt{15} от 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Разделете 2-2i\sqrt{15} на -8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Групирайте 2x и -4x, за да получите -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

Извадете 1 от 5, за да получите 4.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Разделете двете страни на -4.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Делението на -4 отменя умножението по -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Намаляване на дробта \frac{-2}{-4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Разделете 4 на -4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Разделете \frac{1}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{1}{4}. След това съберете квадрата на \frac{1}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Съберете -1 с \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Извадете \frac{1}{4} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$