Решете 28x^2-87x-1485=0

$$28 { x }^{ 2 } -87x-1485=0$$

Решаване за x

$$x = -\frac{165}{28} = -5\frac{25}{28} \approx -5,892857143$$

$$x=9$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 28x^{2}+ax+bx-1485. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-87 ab=28\left(-1485\right)=-41580$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -41580 на продукта.

$$1,-41580 2,-20790 3,-13860 4,-10395 5,-8316 6,-6930 7,-5940 9,-4620 10,-4158 11,-3780 12,-3465 14,-2970 15,-2772 18,-2310 20,-2079 21,-1980 22,-1890 27,-1540 28,-1485 30,-1386 33,-1260 35,-1188 36,-1155 42,-990 44,-945 45,-924 54,-770 55,-756 60,-693 63,-660 66,-630 70,-594 77,-540 84,-495 90,-462 99,-420 105,-396 108,-385 110,-378 126,-330 132,-315 135,-308 140,-297 154,-270 165,-252 180,-231 189,-220 198,-210$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-41580=-41579 2-20790=-20788 3-13860=-13857 4-10395=-10391 5-8316=-8311 6-6930=-6924 7-5940=-5933 9-4620=-4611 10-4158=-4148 11-3780=-3769 12-3465=-3453 14-2970=-2956 15-2772=-2757 18-2310=-2292 20-2079=-2059 21-1980=-1959 22-1890=-1868 27-1540=-1513 28-1485=-1457 30-1386=-1356 33-1260=-1227 35-1188=-1153 36-1155=-1119 42-990=-948 44-945=-901 45-924=-879 54-770=-716 55-756=-701 60-693=-633 63-660=-597 66-630=-564 70-594=-524 77-540=-463 84-495=-411 90-462=-372 99-420=-321 105-396=-291 108-385=-277 110-378=-268 126-330=-204 132-315=-183 135-308=-173 140-297=-157 154-270=-116 165-252=-87 180-231=-51 189-220=-31 198-210=-12$$

Решението е двойката, която дава сума -87.

$$a=-252 b=165$$

Напишете 28x^{2}-87x-1485 като \left(28x^{2}-252x\right)+\left(165x-1485\right).

$$\left(28x^{2}-252x\right)+\left(165x-1485\right)$$

Фактор, 28x в първата и 165 във втората група.

$$28x\left(x-9\right)+165\left(x-9\right)$$

Разложете на множители общия член x-9, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-9\right)\left(28x+165\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-9=0 и 28x+165=0.

$$x=9 x=-\frac{165}{28}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$28x^{2}-87x-1485=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 28 вместо a, -87 вместо b и -1485 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-87\right)±\sqrt{\left(-87\right)^{2}-4\times 28\left(-1485\right)}}{2\times 28}$$

Повдигане на квадрат на -87.

$$x=\frac{-\left(-87\right)±\sqrt{7569-4\times 28\left(-1485\right)}}{2\times 28}$$

Умножете -4 по 28.

$$x=\frac{-\left(-87\right)±\sqrt{7569-112\left(-1485\right)}}{2\times 28}$$

Умножете -112 по -1485.

$$x=\frac{-\left(-87\right)±\sqrt{7569+166320}}{2\times 28}$$

Съберете 7569 с 166320.

$$x=\frac{-\left(-87\right)±\sqrt{173889}}{2\times 28}$$

Получете корен квадратен от 173889.

$$x=\frac{-\left(-87\right)±417}{2\times 28}$$

Противоположното на -87 е 87.

$$x=\frac{87±417}{2\times 28}$$

Умножете 2 по 28.

$$x=\frac{87±417}{56}$$

Сега решете уравнението x=\frac{87±417}{56}, когато ± е плюс. Съберете 87 с 417.

$$x=\frac{504}{56}$$

Разделете 504 на 56.

$$x=9$$

Сега решете уравнението x=\frac{87±417}{56}, когато ± е минус. Извадете 417 от 87.

$$x=-\frac{330}{56}$$

Намаляване на дробта \frac{-330}{56} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{165}{28}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=9 x=-\frac{165}{28}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$28x^{2}-87x-1485=0$$

Съберете 1485 към двете страни на уравнението.

$$28x^{2}-87x-1485-\left(-1485\right)=-\left(-1485\right)$$

Изваждане на -1485 от самото него дава 0.

$$28x^{2}-87x=-\left(-1485\right)$$

Извадете -1485 от 0.

$$28x^{2}-87x=1485$$

Разделете двете страни на 28.

$$\frac{28x^{2}-87x}{28}=\frac{1485}{28}$$

Делението на 28 отменя умножението по 28.

$$x^{2}-\frac{87}{28}x=\frac{1485}{28}$$

Разделете -\frac{87}{28} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{87}{56}. След това съберете квадрата на -\frac{87}{56} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{87}{28}x+\left(-\frac{87}{56}\right)^{2}=\frac{1485}{28}+\left(-\frac{87}{56}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{87}{56}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{87}{28}x+\frac{7569}{3136}=\frac{1485}{28}+\frac{7569}{3136}$$

Съберете \frac{1485}{28} и \frac{7569}{3136}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{87}{28}x+\frac{7569}{3136}=\frac{173889}{3136}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{87}{28}x+\frac{7569}{3136}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{87}{56}\right)^{2}=\frac{173889}{3136}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{87}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{173889}{3136}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{87}{56}=\frac{417}{56} x-\frac{87}{56}=-\frac{417}{56}$$

Съберете \frac{87}{56} към двете страни на уравнението.

$$x=9 x=-\frac{165}{28}$$