Решете 27x^3+1=0

$$27 x ^ { 3 } + 1 = 0$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{6}\approx 0,166666667-0,288675135i$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{6}\approx 0,166666667+0,288675135i$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 1, а q разделя водещия коефициент 27. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{27},±\frac{1}{9},±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 27x^{3}+1 на 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1, за да получите 9x^{2}-3x+1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$9x^{2}-3x+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 9 за a, -3 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 9\times 1}}{2\times 9}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{3±\sqrt{-27}}{18}$$

Решете уравнението 9x^{2}-3x+1=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{6} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{6}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-\frac{1}{3} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{6} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{6}$$

Решаване за x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 1, а q разделя водещия коефициент 27. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{27},±\frac{1}{9},±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 27x^{3}+1 на 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1, за да получите 9x^{2}-3x+1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$9x^{2}-3x+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 9 за a, -3 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 9\times 1}}{2\times 9}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{3±\sqrt{-27}}{18}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-\frac{1}{3}$$