Решете 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1,583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2,806082918$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 27 вместо a, 33 вместо b и -120 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Повдигане на квадрат на 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Умножете -4 по 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Умножете -108 по -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Съберете 1089 с 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Получете корен квадратен от 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Умножете 2 по 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}, когато ± е плюс. Съберете -33 с 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Разделете -33+3\sqrt{1561} на 54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}, когато ± е минус. Извадете 3\sqrt{1561} от -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Разделете -33-3\sqrt{1561} на 54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Съберете 120 към двете страни на уравнението.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Изваждане на -120 от самото него дава 0.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

Извадете -120 от 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Разделете двете страни на 27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

Делението на 27 отменя умножението по 27.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

Намаляване на дробта \frac{33}{27} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

Намаляване на дробта \frac{120}{27} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Разделете \frac{11}{9} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{11}{18}. След това съберете квадрата на \frac{11}{18} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{11}{18}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

Съберете \frac{40}{9} и \frac{121}{324}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

Извадете \frac{11}{18} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$