Решете 27=22t-5t^2

$$27 = 22 t - 5 t ^ { 2 }$$

Решаване за t

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}\approx 2,2+0,748331477i$$

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}\approx 2,2-0,748331477i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$22t-5t^{2}=27$$

Извадете 27 и от двете страни.

$$22t-5t^{2}-27=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-5t^{2}+22t-27=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -5 вместо a, 22 вместо b и -27 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-5\right)\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Повдигане на квадрат на 22.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-5\right)\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Умножете -4 по -5.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484+20\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Умножете 20 по -27.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-540}}{2\left(-5\right)}$$

Съберете 484 с -540.

$$t=\frac{-22±\sqrt{-56}}{2\left(-5\right)}$$

Получете корен квадратен от -56.

$$t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{2\left(-5\right)}$$

Умножете 2 по -5.

$$t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10}$$

Сега решете уравнението t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10}, когато ± е плюс. Съберете -22 с 2i\sqrt{14}.

$$t=\frac{-22+2\sqrt{14}i}{-10}$$

Разделете -22+2i\sqrt{14} на -10.

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}$$

Сега решете уравнението t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10}, когато ± е минус. Извадете 2i\sqrt{14} от -22.

$$t=\frac{-2\sqrt{14}i-22}{-10}$$

Разделете -22-2i\sqrt{14} на -10.

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5} t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$22t-5t^{2}=27$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-5t^{2}+22t=27$$

Разделете двете страни на -5.

$$\frac{-5t^{2}+22t}{-5}=\frac{27}{-5}$$

Делението на -5 отменя умножението по -5.

$$t^{2}+\frac{22}{-5}t=\frac{27}{-5}$$

Разделете 22 на -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=\frac{27}{-5}$$

Разделете 27 на -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=-\frac{27}{5}$$

Разделете -\frac{22}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{11}{5}. След това съберете квадрата на -\frac{11}{5} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{27}{5}+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{11}{5}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{27}{5}+\frac{121}{25}$$

Съберете -\frac{27}{5} и \frac{121}{25}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{14}{25}$$

Разложете на множител t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{14}{25}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{25}}$$

Опростявайте.

$$t-\frac{11}{5}=\frac{\sqrt{14}i}{5} t-\frac{11}{5}=-\frac{\sqrt{14}i}{5}$$

Съберете \frac{11}{5} към двете страни на уравнението.

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5} t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}$$