Решете 25y^2-60y+36

$$25 y ^ { 2 } - 60 y + 36$$

Разлагане на множители

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 25y^{2}+ay+by+36. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-60 ab=25\times 36=900$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 900 на продукта.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Решението е двойката, която дава сума -60.

$$a=-30 b=-30$$

Напишете 25y^{2}-60y+36 като \left(25y^{2}-30y\right)+\left(-30y+36\right).

$$\left(25y^{2}-30y\right)+\left(-30y+36\right)$$

Фактор, 5y в първата и -6 във втората група.

$$5y\left(5y-6\right)-6\left(5y-6\right)$$

Разложете на множители общия член 5y-6, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(25y^{2}-60y+36)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(25,-60,36)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 25y^{2}.

$$\sqrt{25y^{2}}=5y$$

Намерете корен квадратен от последния член, 36.

$$\sqrt{36}=6$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$25y^{2}-60y+36=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Повдигане на квадрат на -60.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Умножете -4 по 25.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-100\times 36}}{2\times 25}$$

Умножете -100 по 36.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3600}}{2\times 25}$$

Съберете 3600 с -3600.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±0}{2\times 25}$$

Противоположното на -60 е 60.

$$y=\frac{60±0}{2\times 25}$$

Умножете 2 по 25.

$$y=\frac{60±0}{50}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{6}{5} и x_{2} с \frac{6}{5}.

$$25y^{2}-60y+36=25\left(y-\frac{6}{5}\right)\left(y-\frac{6}{5}\right)$$

Извадете \frac{6}{5} от y, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{5y-6}{5}\left(y-\frac{6}{5}\right)$$

Извадете \frac{6}{5} от y, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{5y-6}{5}\times \frac{5y-6}{5}$$

Умножете \frac{5y-6}{5} по \frac{5y-6}{5}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)}{5\times 5}$$

Умножете 5 по 5.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)}{25}$$

Съкратете най-големия общ множител 25 в 25 и 25.

$$25y^{2}-60y+36=\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)$$

Изчисляване

$$\left(5y-6\right)^{2}$$