Решете 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Решаване за x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Групирайте 25x^{2} и -x^{2}, за да получите 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 24x^{2}+ax+bx-25. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -600 на продукта.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -10.

$$a=-30 b=20$$

Напишете 24x^{2}-10x-25 като \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Фактор, 6x в първата и 5 във втората група.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Разложете на множители общия член 4x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 4x-5=0 и 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Групирайте 25x^{2} и -x^{2}, за да получите 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 24 вместо a, -10 вместо b и -25 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Повдигане на квадрат на -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Умножете -4 по 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Умножете -96 по -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Съберете 100 с 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Получете корен квадратен от 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

Противоположното на -10 е 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Умножете 2 по 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Сега решете уравнението x=\frac{10±50}{48}, когато ± е плюс. Съберете 10 с 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Намаляване на дробта \frac{60}{48} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{10±50}{48}, когато ± е минус. Извадете 50 от 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Намаляване на дробта \frac{-40}{48} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Групирайте 25x^{2} и -x^{2}, за да получите 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Добавете 25 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$24x^{2}-10x=25$$

Разделете двете страни на 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

Делението на 24 отменя умножението по 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{-10}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Разделете -\frac{5}{12} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{5}{24}. След това съберете квадрата на -\frac{5}{24} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{5}{24}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Съберете \frac{25}{24} и \frac{25}{576}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Съберете \frac{5}{24} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$