Решете 25p^2-74p-3

$$25 p ^ { 2 } - 74 p - 3$$

Разлагане на множители

$$\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 25p^{2}+ap+bp-3. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-74 ab=25\left(-3\right)=-75$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -75 на продукта.

$$1,-75 3,-25 5,-15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-75=-74 3-25=-22 5-15=-10$$

Решението е двойката, която дава сума -74.

$$a=-75 b=1$$

Напишете 25p^{2}-74p-3 като \left(25p^{2}-75p\right)+\left(p-3\right).

$$\left(25p^{2}-75p\right)+\left(p-3\right)$$

Разложете на множители 25p в 25p^{2}-75p.

$$25p\left(p-3\right)+p-3$$

Разложете на множители общия член p-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$25p^{2}-74p-3=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{\left(-74\right)^{2}-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Повдигане на квадрат на -74.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Умножете -4 по 25.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-100\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Умножете -100 по -3.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476+300}}{2\times 25}$$

Съберете 5476 с 300.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5776}}{2\times 25}$$

Получете корен квадратен от 5776.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±76}{2\times 25}$$

Противоположното на -74 е 74.

$$p=\frac{74±76}{2\times 25}$$

Умножете 2 по 25.

$$p=\frac{74±76}{50}$$

Сега решете уравнението p=\frac{74±76}{50}, когато ± е плюс. Съберете 74 с 76.

$$p=\frac{150}{50}$$

Разделете 150 на 50.

$$p=3$$

Сега решете уравнението p=\frac{74±76}{50}, когато ± е минус. Извадете 76 от 74.

$$p=-\frac{2}{50}$$

Намаляване на дробта \frac{-2}{50} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$p=-\frac{1}{25}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с 3 и x_{2} с -\frac{1}{25}.

$$25p^{2}-74p-3=25\left(p-3\right)\left(p-\left(-\frac{1}{25}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$25p^{2}-74p-3=25\left(p-3\right)\left(p+\frac{1}{25}\right)$$

Съберете \frac{1}{25} и p, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$25p^{2}-74p-3=25\left(p-3\right)\times \frac{25p+1}{25}$$

Съкратете най-големия общ множител 25 в 25 и 25.

$$25p^{2}-74p-3=\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$

Изчисляване

$$\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$