Решете 25n^2-30n+9

$$25 n ^ { 2 } - 30 n + 9$$

Разлагане на множители

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 25n^{2}+an+bn+9. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 225 на продукта.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Решението е двойката, която дава сума -30.

$$a=-15 b=-15$$

Напишете 25n^{2}-30n+9 като \left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right).

$$\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right)$$

Фактор, 5n в първата и -3 във втората група.

$$5n\left(5n-3\right)-3\left(5n-3\right)$$

Разложете на множители общия член 5n-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(25n^{2}-30n+9)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(25,-30,9)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 25n^{2}.

$$\sqrt{25n^{2}}=5n$$

Намерете корен квадратен от последния член, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$25n^{2}-30n+9=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Повдигане на квадрат на -30.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Умножете -4 по 25.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Умножете -100 по 9.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Съберете 900 с -900.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±0}{2\times 25}$$

Противоположното на -30 е 30.

$$n=\frac{30±0}{2\times 25}$$

Умножете 2 по 25.

$$n=\frac{30±0}{50}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{5} и x_{2} с \frac{3}{5}.

$$25n^{2}-30n+9=25\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Извадете \frac{3}{5} от n, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Извадете \frac{3}{5} от n, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{5n-3}{5}$$

Умножете \frac{5n-3}{5} по \frac{5n-3}{5}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{5\times 5}$$

Умножете 5 по 5.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{25}$$

Съкратете най-големия общ множител 25 в 25 и 25.

$$25n^{2}-30n+9=\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Изчисляване

$$\left(5n-3\right)^{2}$$