Решете 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Решаване за x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Разделете двете страни на 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-600. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -600 на продукта.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Решението е двойката, която дава сума 10.

$$a=-20 b=30$$

Напишете x^{2}+10x-600 като \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Фактор, x в първата и 30 във втората група.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Разложете на множители общия член x-20, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-20=0 и x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 25 вместо a, 250 вместо b и -15000 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Повдигане на квадрат на 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Умножете -4 по 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Умножете -100 по -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Съберете 62500 с 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Получете корен квадратен от 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Умножете 2 по 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-250±1250}{50}, когато ± е плюс. Съберете -250 с 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Разделете 1000 на 50.

$$x=20$$

Сега решете уравнението x=\frac{-250±1250}{50}, когато ± е минус. Извадете 1250 от -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Разделете -1500 на 50.

$$x=-30$$

Уравнението сега е решено.

$$x=20 x=-30$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Съберете 15000 към двете страни на уравнението.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Изваждане на -15000 от самото него дава 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Извадете -15000 от 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Разделете двете страни на 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Делението на 25 отменя умножението по 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Разделете 250 на 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Разделете 15000 на 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Разделете 10 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 5. След това съберете квадрата на 5 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Повдигане на квадрат на 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Съберете 600 с 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Разложете на множител x^{2}+10x+25. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Опростявайте.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Извадете 5 и от двете страни на уравнението.

$$x=20 x=-30$$