Решете 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 25 по 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 7 по 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 35-7x по 5+x и да групирате подобните членове.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Съберете 400 и 175, за да се получи 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Групирайте 25x^{2} и -7x^{2}, за да получите 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Извадете 295 и от двете страни.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Извадете 295 от 575, за да получите 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Добавете 45x^{2} от двете страни.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Групирайте 18x^{2} и 45x^{2}, за да получите 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 63 вместо a, 200 вместо b и 280 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Повдигане на квадрат на 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Умножете -4 по 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Умножете -252 по 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Съберете 40000 с -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Получете корен квадратен от -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Умножете 2 по 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, когато ± е плюс. Съберете -200 с 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Разделете -200+4i\sqrt{1910} на 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, когато ± е минус. Извадете 4i\sqrt{1910} от -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Разделете -200-4i\sqrt{1910} на 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 25 по 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 7 по 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 35-7x по 5+x и да групирате подобните членове.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Съберете 400 и 175, за да се получи 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Групирайте 25x^{2} и -7x^{2}, за да получите 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Добавете 45x^{2} от двете страни.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Групирайте 18x^{2} и 45x^{2}, за да получите 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Извадете 575 и от двете страни.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Извадете 575 от 295, за да получите -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Разделете двете страни на 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Делението на 63 отменя умножението по 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Намаляване на дробта \frac{-280}{63} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 7.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Разделете \frac{200}{63} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{100}{63}. След това съберете квадрата на \frac{100}{63} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{100}{63}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Съберете -\frac{40}{9} и \frac{10000}{3969}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Извадете \frac{100}{63} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$