Решете 24x^2-81x+27

$$24 x ^ { 2 } - 81 x + 27$$

Разлагане на множители

$$3\left(x-3\right)\left(8x-3\right)$$

Стъпки на решението

Разложете на множители 3.

$$3\left(8x^{2}-27x+9\right)$$

Сметнете 8x^{2}-27x+9. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 8x^{2}+ax+bx+9. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-27 ab=8\times 9=72$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 72 на продукта.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Решението е двойката, която дава сума -27.

$$a=-24 b=-3$$

Напишете 8x^{2}-27x+9 като \left(8x^{2}-24x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(8x^{2}-24x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Фактор, 8x в първата и -3 във втората група.

$$8x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Разложете на множители общия член x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-3\right)\left(8x-3\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$3\left(x-3\right)\left(8x-3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}-81x+27=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±\sqrt{\left(-81\right)^{2}-4\times 24\times 27}}{2\times 24}$$

Повдигане на квадрат на -81.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±\sqrt{6561-4\times 24\times 27}}{2\times 24}$$

Умножете -4 по 24.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±\sqrt{6561-96\times 27}}{2\times 24}$$

Умножете -96 по 27.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±\sqrt{6561-2592}}{2\times 24}$$

Съберете 6561 с -2592.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±\sqrt{3969}}{2\times 24}$$

Получете корен квадратен от 3969.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±63}{2\times 24}$$

Противоположното на -81 е 81.

$$x=\frac{81±63}{2\times 24}$$

Умножете 2 по 24.

$$x=\frac{81±63}{48}$$

Сега решете уравнението x=\frac{81±63}{48}, когато ± е плюс. Съберете 81 с 63.

$$x=\frac{144}{48}$$

Разделете 144 на 48.

$$x=3$$

Сега решете уравнението x=\frac{81±63}{48}, когато ± е минус. Извадете 63 от 81.

$$x=\frac{18}{48}$$

Намаляване на дробта \frac{18}{48} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с 3 и x_{2} с \frac{3}{8}.

$$24x^{2}-81x+27=24\left(x-3\right)\left(x-\frac{3}{8}\right)$$

Извадете \frac{3}{8} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$24x^{2}-81x+27=24\left(x-3\right)\times \frac{8x-3}{8}$$

Съкратете най-големия общ множител 8 в 24 и 8.

$$24x^{2}-81x+27=3\left(x-3\right)\left(8x-3\right)$$

Изчисляване

$$3\left(x-3\right)\left(8x-3\right)$$