Решете 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Решаване за x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 24x^{2}+ax+bx+21. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 504 на продукта.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Решението е двойката, която дава сума -65.

$$a=-56 b=-9$$

Напишете 24x^{2}-65x+21 като \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Фактор, 8x в първата и -3 във втората група.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Разложете на множители общия член 3x-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-7=0 и 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 24 вместо a, -65 вместо b и 21 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Повдигане на квадрат на -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Умножете -4 по 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Умножете -96 по 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Съберете 4225 с -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Получете корен квадратен от 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Противоположното на -65 е 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Умножете 2 по 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Сега решете уравнението x=\frac{65±47}{48}, когато ± е плюс. Съберете 65 с 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Намаляване на дробта \frac{112}{48} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{65±47}{48}, когато ± е минус. Извадете 47 от 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Намаляване на дробта \frac{18}{48} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Извадете 21 и от двете страни на уравнението.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Изваждане на 21 от самото него дава 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Разделете двете страни на 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Делението на 24 отменя умножението по 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{-21}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Разделете -\frac{65}{24} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{65}{48}. След това съберете квадрата на -\frac{65}{48} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{65}{48}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Съберете -\frac{7}{8} и \frac{4225}{2304}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Съберете \frac{65}{48} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$