Решете 24x^2+x-10

$$24 x ^ { 2 } + x - 10$$

Разлагане на множители

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 24x^{2}+ax+bx-10. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=1 ab=24\left(-10\right)=-240$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -240 на продукта.

$$-1,240 -2,120 -3,80 -4,60 -5,48 -6,40 -8,30 -10,24 -12,20 -15,16$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+240=239 -2+120=118 -3+80=77 -4+60=56 -5+48=43 -6+40=34 -8+30=22 -10+24=14 -12+20=8 -15+16=1$$

Решението е двойката, която дава сума 1.

$$a=-15 b=16$$

Напишете 24x^{2}+x-10 като \left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right).

$$\left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right)$$

Фактор, 3x в първата и 2 във втората група.

$$3x\left(8x-5\right)+2\left(8x-5\right)$$

Разложете на множители общия член 8x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+x-10=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Умножете -4 по 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-96\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Умножете -96 по -10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+960}}{2\times 24}$$

Съберете 1 с 960.

$$x=\frac{-1±\sqrt{961}}{2\times 24}$$

Получете корен квадратен от 961.

$$x=\frac{-1±31}{2\times 24}$$

Умножете 2 по 24.

$$x=\frac{-1±31}{48}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1±31}{48}, когато ± е плюс. Съберете -1 с 31.

$$x=\frac{30}{48}$$

Намаляване на дробта \frac{30}{48} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=\frac{5}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1±31}{48}, когато ± е минус. Извадете 31 от -1.

$$x=-\frac{32}{48}$$

Намаляване на дробта \frac{-32}{48} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 16.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{5}{8} и x_{2} с -\frac{2}{3}.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Извадете \frac{5}{8} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Съберете \frac{2}{3} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\times \frac{3x+2}{3}$$

Умножете \frac{8x-5}{8} по \frac{3x+2}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{8\times 3}$$

Умножете 8 по 3.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{24}$$

Съкратете най-големия общ множител 24 в 24 и 24.

$$24x^{2}+x-10=\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Изчисляване

$$24x^{2}+x-10$$