Решете 24x^2+1-11x

$$24 x ^ { 2 } + 1 - 11 x$$

Разлагане на множители

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Стъпки на решението

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$24x^{2}-11x+1$$

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 24x^{2}+ax+bx+1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-11 ab=24\times 1=24$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 24 на продукта.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Решението е двойката, която дава сума -11.

$$a=-8 b=-3$$

Напишете 24x^{2}-11x+1 като \left(24x^{2}-8x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(24x^{2}-8x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Фактор, 8x в първата и -1 във втората група.

$$8x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Разложете на множители общия член 3x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}-11x+1=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 24}}{2\times 24}$$

Повдигане на квадрат на -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 24}}{2\times 24}$$

Умножете -4 по 24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\times 24}$$

Съберете 121 с -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\times 24}$$

Получете корен квадратен от 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\times 24}$$

Противоположното на -11 е 11.

$$x=\frac{11±5}{2\times 24}$$

Умножете 2 по 24.

$$x=\frac{11±5}{48}$$

Сега решете уравнението x=\frac{11±5}{48}, когато ± е плюс. Съберете 11 с 5.

$$x=\frac{16}{48}$$

Намаляване на дробта \frac{16}{48} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 16.

$$x=\frac{1}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{11±5}{48}, когато ± е минус. Извадете 5 от 11.

$$x=\frac{6}{48}$$

Намаляване на дробта \frac{6}{48} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=\frac{1}{8}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{1}{3} и x_{2} с \frac{1}{8}.

$$24x^{2}-11x+1=24\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

Извадете \frac{1}{3} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{3x-1}{3}\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

Извадете \frac{1}{8} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{8x-1}{8}$$

Умножете \frac{3x-1}{3} по \frac{8x-1}{8}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)}{3\times 8}$$

Умножете 3 по 8.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)}{24}$$

Съкратете най-големия общ множител 24 в 24 и 24.

$$24x^{2}-11x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Изчисляване

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$