Решете 24x^2+10x-21

$$24 { x }^{ 2 } +10x-21$$

Разлагане на множители

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 24x^{2}+ax+bx-21. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=10 ab=24\left(-21\right)=-504$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -504 на продукта.

$$-1,504 -2,252 -3,168 -4,126 -6,84 -7,72 -8,63 -9,56 -12,42 -14,36 -18,28 -21,24$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+504=503 -2+252=250 -3+168=165 -4+126=122 -6+84=78 -7+72=65 -8+63=55 -9+56=47 -12+42=30 -14+36=22 -18+28=10 -21+24=3$$

Решението е двойката, която дава сума 10.

$$a=-18 b=28$$

Напишете 24x^{2}+10x-21 като \left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right).

$$\left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right)$$

Фактор, 6x в първата и 7 във втората група.

$$6x\left(4x-3\right)+7\left(4x-3\right)$$

Разложете на множители общия член 4x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+10x-21=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Повдигане на квадрат на 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Умножете -4 по 24.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Умножете -96 по -21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+2016}}{2\times 24}$$

Съберете 100 с 2016.

$$x=\frac{-10±\sqrt{2116}}{2\times 24}$$

Получете корен квадратен от 2116.

$$x=\frac{-10±46}{2\times 24}$$

Умножете 2 по 24.

$$x=\frac{-10±46}{48}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-10±46}{48}, когато ± е плюс. Съберете -10 с 46.

$$x=\frac{36}{48}$$

Намаляване на дробта \frac{36}{48} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-10±46}{48}, когато ± е минус. Извадете 46 от -10.

$$x=-\frac{56}{48}$$

Намаляване на дробта \frac{-56}{48} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=-\frac{7}{6}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{4} и x_{2} с -\frac{7}{6}.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{7}{6}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Извадете \frac{3}{4} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Съберете \frac{7}{6} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{6x+7}{6}$$

Умножете \frac{4x-3}{4} по \frac{6x+7}{6}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{4\times 6}$$

Умножете 4 по 6.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{24}$$

Съкратете най-големия общ множител 24 в 24 и 24.

$$24x^{2}+10x-21=\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Изчисляване

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$