Решете 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0,239130435+0,578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0,239130435-0,578031991i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 23 вместо a, 11 вместо b и 9 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Повдигане на квадрат на 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Умножете -4 по 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

Умножете -92 по 9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

Съберете 121 с -828.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

Получете корен квадратен от -707.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

Умножете 2 по 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}, когато ± е плюс. Съберете -11 с i\sqrt{707}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}, когато ± е минус. Извадете i\sqrt{707} от -11.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Извадете 9 и от двете страни на уравнението.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

Изваждане на 9 от самото него дава 0.

$$23x^{2}+11x=-9$$

Разделете двете страни на 23.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

Делението на 23 отменя умножението по 23.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

Разделете \frac{11}{23} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{11}{46}. След това съберете квадрата на \frac{11}{46} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{11}{46}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Съберете -\frac{9}{23} и \frac{121}{2116}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Извадете \frac{11}{46} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$