Решете 21x^2+11x-2

$$21 x ^ { 2 } + 11 x - 2$$

Разлагане на множители

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 21x^{2}+ax+bx-2. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=11 ab=21\left(-2\right)=-42$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -42 на продукта.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Решението е двойката, която дава сума 11.

$$a=-3 b=14$$

Напишете 21x^{2}+11x-2 като \left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right).

$$\left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right)$$

Фактор, 3x в първата и 2 във втората група.

$$3x\left(7x-1\right)+2\left(7x-1\right)$$

Разложете на множители общия член 7x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}+11x-2=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Повдигане на квадрат на 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Умножете -4 по 21.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Умножете -84 по -2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\times 21}$$

Съберете 121 с 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\times 21}$$

Получете корен квадратен от 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\times 21}$$

Умножете 2 по 21.

$$x=\frac{-11±17}{42}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±17}{42}, когато ± е плюс. Съберете -11 с 17.

$$x=\frac{6}{42}$$

Намаляване на дробта \frac{6}{42} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=\frac{1}{7}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±17}{42}, когато ± е минус. Извадете 17 от -11.

$$x=-\frac{28}{42}$$

Намаляване на дробта \frac{-28}{42} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 14.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{1}{7} и x_{2} с -\frac{2}{3}.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Извадете \frac{1}{7} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Съберете \frac{2}{3} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\times \frac{3x+2}{3}$$

Умножете \frac{7x-1}{7} по \frac{3x+2}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{7\times 3}$$

Умножете 7 по 3.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{21}$$

Съкратете най-големия общ множител 21 в 21 и 21.

$$21x^{2}+11x-2=\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Изчисляване

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$