Решете 200=n(3n+1)/2

$$200 = \frac { n ( 3 n + 1 ) } { 2 }$$

Решаване за n

$$n = \frac{\sqrt{4801} - 1}{6} \approx 11,381541468$$

$$n=\frac{-\sqrt{4801}-1}{6}\approx -11,714874801$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни по 2.

$$200\times 2=n\left(3n+1\right)$$

Умножете 200 по 2, за да получите 400.

$$400=n\left(3n+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите n по 3n+1.

$$400=3n^{2}+n$$

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$3n^{2}+n=400$$

Извадете 400 и от двете страни.

$$3n^{2}+n-400=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, 1 вместо b и -400 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-400\right)}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-400\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-400\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по -400.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+4800}}{2\times 3}$$

Съберете 1 с 4800.

$$n=\frac{-1±\sqrt{4801}}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$n=\frac{-1±\sqrt{4801}}{6}$$

Сега решете уравнението n=\frac{-1±\sqrt{4801}}{6}, когато ± е плюс. Съберете -1 с \sqrt{4801}.

$$n=\frac{\sqrt{4801}-1}{6}$$

Сега решете уравнението n=\frac{-1±\sqrt{4801}}{6}, когато ± е минус. Извадете \sqrt{4801} от -1.

$$n=\frac{-\sqrt{4801}-1}{6}$$

Уравнението сега е решено.

$$n=\frac{\sqrt{4801}-1}{6} n=\frac{-\sqrt{4801}-1}{6}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни по 2.

$$200\times 2=n\left(3n+1\right)$$

Умножете 200 по 2, за да получите 400.

$$400=n\left(3n+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите n по 3n+1.

$$400=3n^{2}+n$$

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$3n^{2}+n=400$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3n^{2}+n}{3}=\frac{400}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$n^{2}+\frac{1}{3}n=\frac{400}{3}$$

Разделете \frac{1}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{1}{6}. След това съберете квадрата на \frac{1}{6} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$n^{2}+\frac{1}{3}n+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{400}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{6}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$n^{2}+\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=\frac{400}{3}+\frac{1}{36}$$

Съберете \frac{400}{3} и \frac{1}{36}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$n^{2}+\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=\frac{4801}{36}$$

Разложете на множител n^{2}+\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4801}{36}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4801}{36}}$$

Опростявайте.

$$n+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{4801}}{6} n+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{4801}}{6}$$

Извадете \frac{1}{6} и от двете страни на уравнението.

$$n=\frac{\sqrt{4801}-1}{6} n=\frac{-\sqrt{4801}-1}{6}$$