Решете 20x^2+x-1>0

$$20 x ^ { 2 } + x - 1 > 0$$

Решаване за x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{5},\infty\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$20x^{2}+x-1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 20 за a, 1 за b и -1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-1±9}{40}$$

Решете уравнението x=\frac{-1±9}{40}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{1}{4}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$20\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)>0$$

За да бъде положително произведението, трябва и двата множителя x-\frac{1}{5} и x+\frac{1}{4} да бъдат положителни или и двата да бъдат отрицателни. Разгледайте случая, когато x-\frac{1}{5} и x+\frac{1}{4} са отрицателни.

$$x-\frac{1}{5}<0 x+\frac{1}{4}<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x<-\frac{1}{4}.

$$x<-\frac{1}{4}$$

Разгледайте случая, когато x-\frac{1}{5} и x+\frac{1}{4} са положителни.

$$x+\frac{1}{4}>0 x-\frac{1}{5}>0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x>\frac{1}{5}.

$$x>\frac{1}{5}$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x<-\frac{1}{4}\text{; }x>\frac{1}{5}$$