Решете 20x^2+11x-3

$$20 { x }^{ 2 } +11x-3$$

Разлагане на множители

$$\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 20x^{2}+ax+bx-3. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=11 ab=20\left(-3\right)=-60$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -60 на продукта.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Решението е двойката, която дава сума 11.

$$a=-4 b=15$$

Напишете 20x^{2}+11x-3 като \left(20x^{2}-4x\right)+\left(15x-3\right).

$$\left(20x^{2}-4x\right)+\left(15x-3\right)$$

Фактор, 4x в първата и 3 във втората група.

$$4x\left(5x-1\right)+3\left(5x-1\right)$$

Разложете на множители общия член 5x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$20x^{2}+11x-3=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Повдигане на квадрат на 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Умножете -4 по 20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-80\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Умножете -80 по -3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\times 20}$$

Съберете 121 с 240.

$$x=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\times 20}$$

Получете корен квадратен от 361.

$$x=\frac{-11±19}{2\times 20}$$

Умножете 2 по 20.

$$x=\frac{-11±19}{40}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±19}{40}, когато ± е плюс. Съберете -11 с 19.

$$x=\frac{8}{40}$$

Намаляване на дробта \frac{8}{40} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=\frac{1}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±19}{40}, когато ± е минус. Извадете 19 от -11.

$$x=-\frac{30}{40}$$

Намаляване на дробта \frac{-30}{40} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{1}{5} и x_{2} с -\frac{3}{4}.

$$20x^{2}+11x-3=20\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$20x^{2}+11x-3=20\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Извадете \frac{1}{5} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$20x^{2}+11x-3=20\times \frac{5x-1}{5}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Съберете \frac{3}{4} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$20x^{2}+11x-3=20\times \frac{5x-1}{5}\times \frac{4x+3}{4}$$

Умножете \frac{5x-1}{5} по \frac{4x+3}{4}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$20x^{2}+11x-3=20\times \frac{\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)}{5\times 4}$$

Умножете 5 по 4.

$$20x^{2}+11x-3=20\times \frac{\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)}{20}$$

Съкратете най-големия общ множител 20 в 20 и 20.

$$20x^{2}+11x-3=\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Изчисляване

$$\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)$$