Решете 20=-49t^2+20t+130

$$20 = - 49 t ^ { 2 } + 20 t + 130$$

Решаване за t

$$t = \frac{3 \sqrt{610} + 10}{49} \approx 1,716214984$$

$$t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49}\approx -1,308051719$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$-49t^{2}+20t+130=20$$

Извадете 20 и от двете страни.

$$-49t^{2}+20t+130-20=0$$

Извадете 20 от 130, за да получите 110.

$$-49t^{2}+20t+110=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -49 вместо a, 20 вместо b и 110 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\times 110}}{2\left(-49\right)}$$

Повдигане на квадрат на 20.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\times 110}}{2\left(-49\right)}$$

Умножете -4 по -49.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+196\times 110}}{2\left(-49\right)}$$

Умножете 196 по 110.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+21560}}{2\left(-49\right)}$$

Съберете 400 с 21560.

$$t=\frac{-20±\sqrt{21960}}{2\left(-49\right)}$$

Получете корен квадратен от 21960.

$$t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{2\left(-49\right)}$$

Умножете 2 по -49.

$$t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{-98}$$

Сега решете уравнението t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{-98}, когато ± е плюс. Съберете -20 с 6\sqrt{610}.

$$t=\frac{6\sqrt{610}-20}{-98}$$

Разделете -20+6\sqrt{610} на -98.

$$t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49}$$

Сега решете уравнението t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{-98}, когато ± е минус. Извадете 6\sqrt{610} от -20.

$$t=\frac{-6\sqrt{610}-20}{-98}$$

Разделете -20-6\sqrt{610} на -98.

$$t=\frac{3\sqrt{610}+10}{49}$$

Уравнението сега е решено.

$$t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49} t=\frac{3\sqrt{610}+10}{49}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$-49t^{2}+20t+130=20$$

Извадете 130 и от двете страни.

$$-49t^{2}+20t=20-130$$

Извадете 130 от 20, за да получите -110.

$$-49t^{2}+20t=-110$$

Разделете двете страни на -49.

$$\frac{-49t^{2}+20t}{-49}=-\frac{110}{-49}$$

Делението на -49 отменя умножението по -49.

$$t^{2}+\frac{20}{-49}t=-\frac{110}{-49}$$

Разделете 20 на -49.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t=-\frac{110}{-49}$$

Разделете -110 на -49.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t=\frac{110}{49}$$

Разделете -\frac{20}{49} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{10}{49}. След това съберете квадрата на -\frac{10}{49} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=\frac{110}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{10}{49}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401}=\frac{110}{49}+\frac{100}{2401}$$

Съберете \frac{110}{49} и \frac{100}{2401}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401}=\frac{5490}{2401}$$

Разложете на множител t^{2}-\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{10}{49}\right)^{2}=\frac{5490}{2401}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(t-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5490}{2401}}$$

Опростявайте.

$$t-\frac{10}{49}=\frac{3\sqrt{610}}{49} t-\frac{10}{49}=-\frac{3\sqrt{610}}{49}$$

Съберете \frac{10}{49} към двете страни на уравнението.

$$t=\frac{3\sqrt{610}+10}{49} t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49}$$