Решете 2z^3+3z^2+8z-5=0

$$2 z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 8 z - 5 = 0$$

Решаване за z (complex solution)

$$z=-1-2i$$

$$z=\frac{1}{2}=0,5$$

$$z=-1+2i$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -5, а q разделя водещия коефициент 2. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$z=\frac{1}{2}$$

Според теоремата за множителите z-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 2z^{3}+3z^{2}+8z-5 на 2\left(z-\frac{1}{2}\right)=2z-1, за да получите z^{2}+2z+5. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$z^{2}+2z+5=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 2 за b и 5 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 5}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$z=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Решете уравнението z^{2}+2z+5=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$z=-1-2i z=-1+2i$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$z=\frac{1}{2} z=-1-2i z=-1+2i$$

Решаване за z

$$z=\frac{1}{2}=0,5$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -5, а q разделя водещия коефициент 2. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$z=\frac{1}{2}$$

Според теоремата за множителите z-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 2z^{3}+3z^{2}+8z-5 на 2\left(z-\frac{1}{2}\right)=2z-1, за да получите z^{2}+2z+5. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$z^{2}+2z+5=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 2 за b и 5 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 5}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$z=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$z\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$z=\frac{1}{2}$$