Решете 2y-3x=-22;2x+3y=32

$$2 y - 3 x = - 22 ; 2 x + 3 y = 32$$

Решаване за y, x

$$x=10$$

$$y=4$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Изберете едно от уравненията и го решете за y чрез изолиране на y от лявата страна на равенството.

$$2y-3x=-22$$

Съберете 3x към двете страни на уравнението.

$$2y=3x-22$$

Разделете двете страни на 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-22\right)$$

Умножете \frac{1}{2} по 3x-22.

$$y=\frac{3}{2}x-11$$

Заместете \frac{3x}{2}-11 вместо y в другото уравнение, 3y+2x=32.

$$3\left(\frac{3}{2}x-11\right)+2x=32$$

Умножете 3 по \frac{3x}{2}-11.

$$\frac{9}{2}x-33+2x=32$$

Съберете \frac{9x}{2} с 2x.

$$\frac{13}{2}x-33=32$$

Съберете 33 към двете страни на уравнението.

$$\frac{13}{2}x=65$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{13}{2}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$x=10$$

Заместете 10 вместо x в y=\frac{3}{2}x-11. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y=\frac{3}{2}\times 10-11$$

Умножете \frac{3}{2} по 10.

$$y=15-11$$

Съберете -11 с 15.

$$y=4$$

Системата сега е решена.

$$y=4,x=10$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-22\right)+\frac{3}{13}\times 32\\-\frac{3}{13}\left(-22\right)+\frac{2}{13}\times 32\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата y and x.

$$y=4,x=10$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

За да направите 2y и 3y равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 3, а всички членове от двете страни на второто по 2.

$$3\times 2y+3\left(-3\right)x=3\left(-22\right),2\times 3y+2\times 2x=2\times 32$$

Опростявайте.

$$6y-9x=-66,6y+4x=64$$

Извадете 6y+4x=64 от 6y-9x=-66, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$6y-6y-9x-4x=-66-64$$

Съберете 6y с -6y. Условията 6y и -6y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-9x-4x=-66-64$$

Съберете -9x с -4x.

$$-13x=-66-64$$

Съберете -66 с -64.

$$-13x=-130$$

Разделете двете страни на -13.

$$x=10$$

Заместете 10 вместо x в 3y+2x=32. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$3y+2\times 10=32$$

Умножете 2 по 10.

$$3y+20=32$$

Извадете 20 и от двете страни на уравнението.

$$3y=12$$

Разделете двете страни на 3.

$$y=4$$

Системата сега е решена.

$$y=4,x=10$$