Решете 2y^2-4y+5y=1

$$2 y ^ { 2 } - 4 y + 5 y = 1$$

Решаване за y

$$y=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Групирайте -4y и 5y, за да получите y.

$$2y^{2}+y=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$2y^{2}+y-1=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 2y^{2}+ay+by-1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=-1 b=2$$

Напишете 2y^{2}+y-1 като \left(2y^{2}-y\right)+\left(2y-1\right).

$$\left(2y^{2}-y\right)+\left(2y-1\right)$$

Разложете на множители y в 2y^{2}-y.

$$y\left(2y-1\right)+2y-1$$

Разложете на множители общия член 2y-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2y-1\right)\left(y+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 2y-1=0 и y+1=0.

$$y=\frac{1}{2} y=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Групирайте -4y и 5y, за да получите y.

$$2y^{2}+y=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$2y^{2}+y-1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, 1 вместо b и -1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по -1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

Съберете 1 с 8.

$$y=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 9.

$$y=\frac{-1±3}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$y=\frac{-1±3}{4}$$

Сега решете уравнението y=\frac{-1±3}{4}, когато ± е плюс. Съберете -1 с 3.

$$y=\frac{2}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$y=\frac{1}{2}$$

Сега решете уравнението y=\frac{-1±3}{4}, когато ± е минус. Извадете 3 от -1.

$$y=-\frac{4}{4}$$

Разделете -4 на 4.

$$y=-1$$

Уравнението сега е решено.

$$y=\frac{1}{2} y=-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Групирайте -4y и 5y, за да получите y.

$$2y^{2}+y=1$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{1}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$$

Разделете \frac{1}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{1}{4}. След това съберете квадрата на \frac{1}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Съберете \frac{1}{2} и \frac{1}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Разложете на множител y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Опростявайте.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Извадете \frac{1}{4} и от двете страни на уравнението.

$$y=\frac{1}{2} y=-1$$