Решете 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

Решаване за x, y

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$2x-3y=-2$$

Съберете 3y към двете страни на уравнението.

$$2x=3y-2$$

Разделете двете страни на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Умножете \frac{1}{2} по 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Заместете \frac{3y}{2}-1 вместо x в другото уравнение, 4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

Умножете 4 по \frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

Съберете 6y с y.

$$7y-4=2A$$

Съберете 4 към двете страни на уравнението.

$$7y=2A+4$$

Разделете двете страни на 7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Заместете \frac{4+2A}{7} вместо y в x=\frac{3}{2}y-1. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

Умножете \frac{3}{2} по \frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

Съберете -1 с \frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

За да направите 2x и 4x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 4, а всички членове от двете страни на второто по 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

Опростявайте.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

Извадете 8x+2y=4A от 8x-12y=-8, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

Съберете 8x с -8x. Условията 8x и -8x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-12y-2y=-8-4A$$

Съберете -12y с -2y.

$$-14y=-8-4A$$

Съберете -8 с -4A.

$$-14y=-4A-8$$

Разделете двете страни на -14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Заместете \frac{4+2A}{7} вместо y в 4x+y=2A. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

Извадете \frac{4+2A}{7} и от двете страни на уравнението.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

Разделете двете страни на 4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$