Решете 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Решаване за x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$2x-3y+10=0$$

Извадете 10 и от двете страни на уравнението.

$$2x-3y=-10$$

Съберете 3y към двете страни на уравнението.

$$2x=3y-10$$

Разделете двете страни на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Умножете \frac{1}{2} по 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Заместете \frac{3y}{2}-5 вместо x в другото уравнение, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Умножете 5 по \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Съберете \frac{15y}{2} с -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Съберете -25 с 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Съберете 21 към двете страни на уравнението.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{13}{2}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=\frac{42}{13}$$

Заместете \frac{42}{13} вместо y в x=\frac{3}{2}y-5. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Умножете \frac{3}{2} по \frac{42}{13}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Съберете -5 с \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Системата сега е решена.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

За да направите 2x и 5x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 5, а всички членове от двете страни на второто по 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Опростявайте.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Извадете 10x-2y+8=0 от 10x-15y+50=0, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Съберете 10x с -10x. Условията 10x и -10x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Съберете -15y с 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Съберете 50 с -8.

$$-13y+42=0$$

Извадете 42 и от двете страни на уравнението.

$$-13y=-42$$

Разделете двете страни на -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Заместете \frac{42}{13} вместо y в 5x-y+4=0. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Съберете -\frac{42}{13} с 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Извадете \frac{10}{13} и от двете страни на уравнението.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Разделете двете страни на 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Системата сега е решена.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$