Решете 2x-15/x+7=0

$$2 x - \frac { 15 } { x } + 7 = 0$$

Решаване за x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на 0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x.

$$2xx-15+x\times 7=0$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$2x^{2}-15+x\times 7=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 2x^{2}+ax+bx-15. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -30 на продукта.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решението е двойката, която дава сума 7.

$$a=-3 b=10$$

Напишете 2x^{2}+7x-15 като \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

Фактор, x в първата и 5 във втората група.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 2x-3=0 и x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на 0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x.

$$2xx-15+x\times 7=0$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$2x^{2}-15+x\times 7=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, 7 вместо b и -15 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Съберете 49 с 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-7±13}{4}, когато ± е плюс. Съберете -7 с 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{6}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-7±13}{4}, когато ± е минус. Извадете 13 от -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Разделете -20 на 4.

$$x=-5$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на 0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x.

$$2xx-15+x\times 7=0$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$2x^{2}-15+x\times 7=0$$

Добавете 15 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$2x^{2}+x\times 7=15$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x=15$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Разделете \frac{7}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{7}{4}. След това съберете квадрата на \frac{7}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{7}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Съберете \frac{15}{2} и \frac{49}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Извадете \frac{7}{4} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$