Решете 2x^4-7x^3-7x^2+35x-15=0

$$2 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + 35 x - 15 = 0$$

Решаване за x

$$x=\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}\approx -2,236067977$$

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -15, а q разделя водещия коефициент 2. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 2x^{4}-7x^{3}-7x^{2}+35x-15 на x-3, за да получите 2x^{3}-x^{2}-10x+5. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$2x^{3}-x^{2}-10x+5=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 5, а q разделя водещия коефициент 2. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=\frac{1}{2}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 2x^{3}-x^{2}-10x+5 на 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1, за да получите x^{2}-5. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-5=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и -5 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±2\sqrt{5}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}-5=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=3 x=\frac{1}{2} x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$