Решете 2x^4-5x^3+4x^2-5x+2

$$2 x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } - 5 x + 2$$

Разлагане на множители

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$2x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+2=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 2, а q разделя водещия коефициент 2. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±1,±2,±\frac{1}{2}$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 2x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+2 на x-2, за да получите 2x^{3}-x^{2}+2x-1. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$2x^{3}-x^{2}+2x-1=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -1, а q разделя водещия коефициент 2. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=\frac{1}{2}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 2x^{3}-x^{2}+2x-1 на 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1, за да получите x^{2}+1. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{2}+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Полиномът x^{2}+1 не е разложен на множители, тъй като няма рационални корени.

$$x^{2}+1$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени.

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

Изчисляване

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$