Решете 2x^2-2x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 < 0$$

Решаване за x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 2 за a, -2 за b и -1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Решете уравнението x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

За да бъде произведението отрицателно, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} и x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} трябва да бъдат с противоположни знаци. Разгледайте случая, когато x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} е положително, а x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} е отрицателно.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Това е невярно за всяко x.

$$x\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} е положително, а x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} е отрицателно.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$