Решете 2x^2-17x-69

$$2 x ^ { 2 } - 17 x - 69$$

Разлагане на множители

$$\left(2x-23\right)\left(x+3\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 2x^{2}+ax+bx-69. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-17 ab=2\left(-69\right)=-138$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -138 на продукта.

$$1,-138 2,-69 3,-46 6,-23$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-138=-137 2-69=-67 3-46=-43 6-23=-17$$

Решението е двойката, която дава сума -17.

$$a=-23 b=6$$

Напишете 2x^{2}-17x-69 като \left(2x^{2}-23x\right)+\left(6x-69\right).

$$\left(2x^{2}-23x\right)+\left(6x-69\right)$$

Фактор, x в първата и 3 във втората група.

$$x\left(2x-23\right)+3\left(2x-23\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-23, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-23\right)\left(x+3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-17x-69=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 2\left(-69\right)}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на -17.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 2\left(-69\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-8\left(-69\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по -69.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+552}}{2\times 2}$$

Съберете 289 с 552.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{841}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 841.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±29}{2\times 2}$$

Противоположното на -17 е 17.

$$x=\frac{17±29}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{17±29}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{17±29}{4}, когато ± е плюс. Съберете 17 с 29.

$$x=\frac{46}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{46}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{23}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{17±29}{4}, когато ± е минус. Извадете 29 от 17.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Разделете -12 на 4.

$$x=-3$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{23}{2} и x_{2} с -3.

$$2x^{2}-17x-69=2\left(x-\frac{23}{2}\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$2x^{2}-17x-69=2\left(x-\frac{23}{2}\right)\left(x+3\right)$$

Извадете \frac{23}{2} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$2x^{2}-17x-69=2\times \frac{2x-23}{2}\left(x+3\right)$$

Съкратете най-големия общ множител 2 в 2 и 2.

$$2x^{2}-17x-69=\left(2x-23\right)\left(x+3\right)$$

Изчисляване

$$\left(2x-23\right)\left(x+3\right)$$