Решете 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Решаване за x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Стъпки на решението

Извадете 6 и от двете страни на уравнението.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на 2x^{2}-10x-6.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Разложете \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 11 и получавате 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}-5x} и получавате x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 121 по x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Извадете 121x^{2} и от двете страни.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Групирайте 76x^{2} и -121x^{2}, за да получите -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Добавете 605x от двете страни.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Групирайте 120x и 605x, за да получите 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 36, а q разделя водещия коефициент 4. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-4$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 на x+4, за да получите 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 9, а q разделя водещия коефициент 4. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=9$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 на x-9, за да получите 4x^{2}-20x-1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 4 за a, -20 за b и -1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Решете уравнението 4x^{2}-20x-1=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Заместете -4 вместо x в уравнението 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Опростявайте. Стойността x=-4 отговаря на уравнението.

$$72=72$$

Заместете 9 вместо x в уравнението 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Опростявайте. Стойността x=9 отговаря на уравнението.

$$72=72$$

Заместете \frac{5-\sqrt{26}}{2} вместо x в уравнението 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} не отговаря на уравнението.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Заместете \frac{\sqrt{26}+5}{2} вместо x в уравнението 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} не отговаря на уравнението.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Изброяване на всички решения на 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$