Решете 2x^2+23x+51

$$2 x ^ { 2 } + 23 x + 51$$

Разлагане на множители

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 2x^{2}+ax+bx+51. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=23 ab=2\times 51=102$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 102 на продукта.

$$1,102 2,51 3,34 6,17$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+102=103 2+51=53 3+34=37 6+17=23$$

Решението е двойката, която дава сума 23.

$$a=6 b=17$$

Напишете 2x^{2}+23x+51 като \left(2x^{2}+6x\right)+\left(17x+51\right).

$$\left(2x^{2}+6x\right)+\left(17x+51\right)$$

Фактор, 2x в първата и 17 във втората група.

$$2x\left(x+3\right)+17\left(x+3\right)$$

Разложете на множители общия член x+3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+23x+51=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 2\times 51}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 2\times 51}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-8\times 51}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по 51.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-408}}{2\times 2}$$

Съберете 529 с -408.

$$x=\frac{-23±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 121.

$$x=\frac{-23±11}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{-23±11}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-23±11}{4}, когато ± е плюс. Съберете -23 с 11.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Разделете -12 на 4.

$$x=-3$$

Сега решете уравнението x=\frac{-23±11}{4}, когато ± е минус. Извадете 11 от -23.

$$x=-\frac{34}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{-34}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{17}{2}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -3 и x_{2} с -\frac{17}{2}.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x-\left(-3\right)\right)\left(x-\left(-\frac{17}{2}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x+3\right)\left(x+\frac{17}{2}\right)$$

Съберете \frac{17}{2} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x+3\right)\times \frac{2x+17}{2}$$

Съкратете най-големия общ множител 2 в 2 и 2.

$$2x^{2}+23x+51=\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Изчисляване

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$