Решете 2x^2+15x=8x-5

$$2 x ^ { 2 } + 15 x = 8 x - 5$$

Решаване за x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете 8x и от двете страни.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Групирайте 15x и -8x, за да получите 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Добавете 5 от двете страни.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 2x^{2}+ax+bx+5. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 10 на продукта.

$$1,10 2,5$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+10=11 2+5=7$$

Решението е двойката, която дава сума 7.

$$a=2 b=5$$

Напишете 2x^{2}+7x+5 като \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Фактор, 2x в първата и 5 във втората група.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Разложете на множители общия член x+1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x+1=0 и 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 8x и от двете страни.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Групирайте 15x и -8x, за да получите 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Добавете 5 от двете страни.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, 7 вместо b и 5 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Съберете 49 с -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-7±3}{4}, когато ± е плюс. Съберете -7 с 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Разделете -4 на 4.

$$x=-1$$

Сега решете уравнението x=\frac{-7±3}{4}, когато ± е минус. Извадете 3 от -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{-10}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете 8x и от двете страни.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Групирайте 15x и -8x, за да получите 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Разделете \frac{7}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{7}{4}. След това съберете квадрата на \frac{7}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{7}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Съберете -\frac{5}{2} и \frac{49}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Извадете \frac{7}{4} и от двете страни на уравнението.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$